Dois atletas correm com velocidades constantes em uma pista retilínea, partindo simultaneamente de extremos opostos, A e B. Um dos corredores parte de A, chega a B e volta para A. O outro corredor parte de B, chega a A e volta para B. Os corredores cruzam se duas vezes, a primeira vez a 800 metros de A e a segunda vez a 500 metros de B. O comprimento da pista, em metros, é
(A) 1.000.
(B) 1.300.
(C) 1.600.
(D) 1.900.
(E) 2.100.
Tags – Matemática, encontro de corpos.
Resolução
Chamemos de VA a velocidade do corredor que sai de A e VB a velocidade do corredor que sai de B. As possíveis configurações dos encontros são:
Em que L é o comprimento total da pista e no primeiro caso L < 800 m + 500 m, e no segundo caso L > 1300 m. Como ambos partem simultaneamente de suas posições iniciais, o tempo de chegada até o 1º encontro é o mesmo, como as velocidades são constantes, esse tempo é dado por Δt = Δs/v, logo, para o primeiro encontro:
ΔtA1 = ΔtB1 → 800/VA = (L-800)/VB → VB/VA = (L-800)/800
Para o segundo encontro, o corredor A pode ter encontrado o corredor B quando o B estava indo ainda para o ponto A ou quando o corredor B estava voltando do ponto A, no primeiro caso:
ΔtA2 = ΔtB2 → (L+500)/VA = 500/VB → VB/VA = 500/(L+500)
Igualando a equação anterior:
VB/VA = (L-800)/800 = 500/(L+500) → L2 – 300L – 400.000 = 400.000 → L2 – 300L – 800.000 = 0
L1 ≅ 1.057 m (não está entre as alternativas) L2 ≅ 756 m (absurdo L > 800m)
Logo o encontro ocorreu enquanto o corredor B voltava do ponto A:
ΔtA2 = ΔtB2 → (L+500)/VA = (L+L-500)/VB → VB/VA = (2L-500)/(L+500)
(L-800)/800 = (2L-500)/(L+500) → L2 – 300L – 400.000 = 1.600L – 400.000 → L2 – 1.900L = 0
L1 = 0 (absurdo) L2 = 1.900 m
Alternativa D.
